两个胜利，一个失败和遥远的雷声
和微积分一块出现的不仅仅是一个方法，这个方法可以抓住并控制变化，还有一种新的解决重要问题的思想。或者说这种思想不是新，我们仅仅是重新更新了这个思想，这个思想已经等了很长的时间来复兴？一个变化的模糊概念，就是我们最初在秘密交换复式簿记时听到的，此时在沿着一条曲线的切线滑行中嗡嗡作响。这个声音来自概念“极限”：一个作用（缩小的过程）指向一个目标（这个极限）——但是这个作用和目标的组成都是一种：数字。只要现在用等式符号标出这个模糊概念，我们可以例行公事地前进，就象进行和存在是相同的。极限必然伴随着过程，揭示它的形式：“A象B”中的B用来解释A。牛顿必须是最后一个魔术师，因为在他之后，已知的知识不再用来解释未知东西，而是用来（这种解释方法可能会花费伟人很大的努力来揭示它）解释自己。
微积分的宫殿摇摇欲坠，甚至一些最基本的问题都出现了漏洞，研究微积分的人们不得不加固这些基本的问题来托起这个伟大的宫殿。从微积分出发，自然世界的一个又一个领域都试图用微积分理论来解释：光学、流体力学、机械学；还有更远的，生物学、经济学——所有的科学，理论的的应用的。甚至我们的一个老谜团也由它的力量解决：因为这是我们对数字理解的一次革命，这次革命给不确定的一个明确的意义。
我们这里的故事有一点欺骗。十七世纪晚期的一个人——我们应该叫他纪尧姆·弗朗克斯·安东尼·洛必达（GuillaumeFrancoisAntoine）侯爵？——考虑两个连续变化的函数，f(x)和g(x)（例如f(x)=2x和g(x)=3x）。他们的比率对于差不多任何x都有意义。在我们例子中，如果x=17那么f(17)=2·7=34而g(17)=3·17=51，因此。对于你选择的几乎任意其它x，它都是2/3。几乎任意——但是不包括x=0，因为那样我们将得到，我们的老敌人。
然而，注意到的是：如果这些函数中的每一个在临界位置（我们的例子中，就是在x=0）都独立的有一个斜率——并且如果g(x)的斜率在那里不是零——那么它们斜率的比值就和这些函数自己的比值相等了！
把这个过程放进极限的语言中来看我们的例子：因为，当x接近0时，f(x)和g(x)的极限都是0（当x接近0时2x和3x都接近0）；并且因为f(x)=2x的斜率处处
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